Question

5．已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线y²=2px（p＞0）上，且AB∥CD，CD=2AB=4，∠ADC=60°，则点A到抛物线的焦点的距离是$\frac{{7\sqrt{3}}}{12}$．

Answer 1

分析 由题意，设A（a，1），D（a+$\sqrt{3}$，2），代入抛物线的方程可得$\left\{\begin{array}{l}{2pa=1}\\{2p（a+\sqrt{3}）=4}\end{array}\right.$，求出a，p，即可求出点A到抛物线的焦点的距离．

解答 解：由题意，设A（a，1），D（a+$\sqrt{3}$，2），
代入抛物线的方程可得$\left\{\begin{array}{l}{2pa=1}\\{2p（a+\sqrt{3}）=4}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴|AF|=a+$\frac{p}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{{7\sqrt{3}}}{12}$．
故答案为：$\frac{{7\sqrt{3}}}{12}$．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．