Question

19．已知函数f（x）=ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ） 若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为1，求a的值；
（Ⅱ） 讨论函数f（x）极值点的个数；
（Ⅲ） 若f（x）≤xlnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，根据f′（1）=1，从而求出a的值；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的极值点的个数；
（Ⅲ）问题转化为$a≤\frac{lnx}{x}+lnx$在[1，+∞）上恒成立，令$g（x）=\frac{lnx}{x}+lnx$，通过求导得到函数g（x）的单调性，从而有g（x）_min=g（1）=0，进而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ） 由f（x）=ax-lnx，得$f'（x）=a-\frac{1}{x}$，
又$f'（1）=a-\frac{1}{1}=1$，
∴a=2；
（Ⅱ）∵$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$，x＞0，
当a≤0时，f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，f′（x）≤0得$0＜x≤\frac{1}{a}$，f′（x）≥0得$x≥\frac{1}{a}$，
∴f（x）在$（0，\frac{1}{a}]$上单调递减，在$[\frac{1}{a}，+∞）$上单调递增，
∴f（x）在$x=\frac{1}{a}$有极小值．
综上得 当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．
（Ⅲ） f（x）＜xlnx在[1，+∞）上恒成立，
即$a≤\frac{lnx}{x}+lnx$在[1，+∞）上恒成立，
令$g（x）=\frac{lnx}{x}+lnx$，x∈[1，+∞），
∴$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-lnx+1}{x^2}$，
令h（x）=x-lnx+1，
∴$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}≥0$在[1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=2，
∴g'（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=0，
∴a≤0．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，考查转化思想，本题属于难题．