Question

定义在R上的函数f（x），满足f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，m，n∈R，且f（1）≠0，则f（2014）的值为

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：通过赋值法求出f（0），f（1），推出f（x+1）=f（x）+

1

2

，说明数列{f（x）}（x∈Z）是等差数列，然后求解f（2014）的值

解答： 解：令m=n=0得f（0+0²）=f（0）+2[f（0）]²，
所以f（0）=0；
令m=0，n=1得f（0+1²）=f（0）+2[f（1）]²．
由于f（1）≠0，
所以f（1）=

1

2

；
令m=x，n=1得f（x+1²）=f（x）+2[f（1）]²，
所以f（x+1）=f（x）+2×（

1

2

）²，f（x+1）=f（x）+

1

2

，
这说明数列{f（x）}（x∈Z）是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，
所以f（2014）=

1

2

+（2014-1）×

1

2

=1007．
故答案为：1007．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，抽象函数以及赋值法的应用，考查分析问题解决问题的能力．