Question

16．已知函数$f（x）=2sin（{x-\frac{π}{6}}）$，x∈[-π，a]的值域为[-2，1]，则实数a的取值范围为$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$．

Answer 1

分析 根据函数的值域求出函数的对称轴以及函数值对应的x，结合图象进行求解即可．

解答 解：当x=-π时，f（-π）=2sin（-π-$\frac{π}{6}$）=2sin（-2π+$\frac{5π}{6}$）=2sin$\frac{5π}{6}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
由x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，得x=$\frac{2π}{3}$+kπ，
∴当k=-1时，x=-$\frac{π}{3}$是函数的一条对称轴，
则x=-π关于x=-$\frac{π}{3}$对称的直线为x=$\frac{π}{3}$，
当x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ时，f（x）=-2，
此时x=-$\frac{π}{3}$+2kπ，
y要使f（x）的值域为[-2，1]，则-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$，
即实数a的取值范围是$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$；
故答案为：$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$；

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，结合函数的值域求出对应的x的取值是解决本题的关键．