Question

已知函数f（x）=ln（ax）+（b-2）x（a，b是常数），此函数对应的曲线y=f（x）在点（1，-1）处的切线与直线x轴平行．
（Ⅰ）求a，b的值，并求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设m≠0，函数g（x）=

1

3

mx³-mx，x∈（1，2），总存在x₁∈（1，2），x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由于曲线y=f（x）在点（1，-1）处的切线与直线x轴平行，则f′（1）=0，且f（1）=-1，解方程，即可得到a，b，再求出f（x）的地单调区间，进而得到极值，且为最值；
（Ⅱ）求出f（x）在（1，2）的值域，求出g（x）的导函数，讨论m＞0，m＜0，g（x）的单调性，求出值域，由于任意x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，则f（x）的值域包含在g（x）的值域，列出不等式，解出，再求并集即可．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=ln（ax）+（b-2）x的导数为f′（x）=

1

x

+b-2，
由于曲线y=f（x）在点（1，-1）处的切线与直线x轴平行，
则f′（1）=0，且f（1）=-1，
即有1+b-2=0，且lna+b-2=-1，
解得，a=1，b=1；
则f（x）=lnx-x，（x＞0），
f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当0＜xx＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
则有f（x）在x=1处取得极大值，也为最大值，且为f（1）=-1；
（Ⅱ）f（x）在（1，2）递减，f（x）的值域为（ln2-2，-1），
g（x）的导数为g′（x）=mx²-m=m（x²-1），
当m＞0时，g′（x）＞0在（1，2）成立，g（x）递增，g（x）的值域为（-

2

3

m，

2

3

m）；
当m＜0时，g′（x）＜0在（1，2）成立，g（x）递减，g（x）的值域为（

2

3

m，-

2

3

m）．
任意x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，
则在（1，2）内，当m＞0时，（ln2-2，-1）⊆（-

2

3

m，

2

3

m），
即有-

2

3

m≤ln2-2＜-1≤

2

3

m，解得，m≥3-

3

2

ln2；
当m＞0时，（ln2-2，-1）⊆（

2

3

m，-

2

3

m），
即有

2

3

m≤ln2-2＜-1≤-

2

3

m，解得，m≤

3

2

ln2-3．
则m的取值范围是（-∞，

3

2

ln2-3]∪[3-

3

2

ln2，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求极值、最值，考查任意存在性问题注意转化为求函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．