Question

（本小题满分14分）已知函数，其中．

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）如果对于任意，都有，求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入，得到解析式，对求导，得到为切线的斜率，为切点的纵坐标，从而利用点斜式得到切线方程；第二问，将代入，得到，所以将对于任意，都有转化成了，构造函数，对求导，通过判断函数单调递增，从而得，即得证.

试题解析：（1）当时，由已知得，故， 2分

所以，又因为，

所以函数的图象在点处的切线方程为，

即； 5分

（2）【解析】
由，得，又，

故． 7分

设函数，

则． 8分

因为，

所以，，

所以当时，， 10分

故函数在上单调递增．

所以当时，． 12分

因为对于任意，都有成立，

所以对于任意，都有成立．

所以． 14分

考点：导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值.