Question

如图，多面体ABC-A₁B₁C₁中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，AA₁=BB₁=2CC₁=4．
（1）若O是AB的中点，求证：OC₁⊥A₁B；
（2）在线段AB₁上是否存在一点D，使得CD∥平面A₁B₁C₁，若存在确定D的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取线段A₁B₁的中点为E，连接OE，C₁E，CO，证明AB⊥面EOCC₁，利用A₁B₁∥AB，OC?面EOCC₁，可得OC₁⊥A₁B；
（2）设OE∩AB₁=D，则点D是AB₁的中点，证明四边形CC₁ED是平行四边形即可．

解答： （1）证明：取线段A₁B₁的中点为E，连接OE，C₁E，CO
已知等边ABC是边长为4，AA₁=BB₁=2CC₁=4，AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁∥
CC₁，
∴AA₁B₁B是正方形，
∴OE⊥AB，CO∥AB，
又∵CO∩OE=O，
∴AB⊥面EOCC₁，
∵A₁B₁∥AB，OC?面EOCC₁，
∴OC₁⊥A₁B…（6分）
（2）解：设OE∩AB₁=D，则点D是AB₁的中点，
∴ED∥AA₁，ED=

1

2

AA1…（8分）
又∵CC₁∥AA₁，CC₁=

1

2

AA₁，
∴四边形CC₁ED是平行四边形，…（10分）
∴CD∥C₁E，∴CD∥平面A₁B₁C₁，
即存在点D使得CD∥平面A₁B₁C₁，点D是AB₁的中点．…（12分）

点评：本题考查线面平行的判定，考查线面垂直，正确运用判定定理是关键．