【题目】在平面直角坐标系中,动点
到定点
的距离与
到定直线
的距离的比为
,动点
的轨迹记为
.
(1)求轨迹的方程;
(2)若点在轨迹
上运动,点
在圆
上运动,且总有
,
求的取值范围;
(3)过点的动直线
交轨迹
于
两点,试问:在此坐标平面上是否存在一个定点
,使得无论
如何转动,以
为直径的圆恒过点
?若存在,求出点
的坐标.若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)存在,
理由见解析
【解析】
(1)设点,由
化简求解;(2)圆心
.根据圆与椭圆的位置关系,分两种情况讨论:①当
时,②当
时,设
,分别利用三角代换求得其最值,即可得到取值范围;(3)把
代入椭圆的方程可得:
,取点
时满足
.然后证明:在此坐标平面上存在一个定点
,使得无论
如何转动,以
为直径的圆恒过点
即可.
(1)设点,由题意可得:
,
即:.
(2)圆心
:①当时,∵总有
,
∴
.②当时,设
,总有
,
所以
,
∴.
综上可得:的取值范围是
∪
.
(3)把代入椭圆的方程可得:
,
解得.,所以
,
,取点
时满足
.
下面证明:存在一个定点,使得无论
如何转动,以
为直径的圆恒过点
.
设过点的动直线
的方程为:
,
.
联立,化为:
,
∴,
.
则
∴在此坐标平面上存在一个定点,使得无论
如何转动,以
为直径的圆恒过点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设,某市组织开展“学习强国”知识测试,每人测试文化、经济两个项目,每个项目满分均为60分.从全体测试人员中随机抽取了100人,分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩,得到文化项目测试成绩的频数分布表和经济项目测试成绩的频率分布直方图如下:
经济项目测试成绩频率分布直方图
分数区间 | 频数 |
2 | |
3 | |
5 | |
15 | |
40 | |
35 |
文化项目测试成绩频数分布表
将测试人员的成绩划分为三个等级如下:分数在区间内为一般,分数在区间
内为良好,分数在区间
内为优秀.
(1)在抽取的100人中,经济项目等级为优秀的测试人员中女生有14人,经济项目等级为一般或良好的测试人员中女生有34人.填写下面列联表,并根据列联表判断是否有以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关?
优秀 | 一般或良好 | 合计 | |
男生数 | |||
女生数 | |||
合计 |
(2)用这100人的样本估计总体.
(i)求该市文化项目测试成绩中位数的估计值.
(ii)对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价.
附:
0.150 | 0.050 | 0.010 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 |
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,
,
,
,
,
,
为侧棱
上一点.
(Ⅰ)若,求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)在侧棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于项数为(
)的有穷正整数数列
,记
(
),即
为
中的最大值,称数列
为数列
的“创新数列”.比如
的“创新数列”为
.
(1)若数列的“创新数列”
为1,2,3,4,4,写出所有可能的数列
;
(2)设数列为数列
的“创新数列”,满足
(
),求证:
(
);
(3)设数列为数列
的“创新数列”,数列
中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积,求出所有的数列
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为
,以极点
为直角坐标原点,以极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系
,将曲线
向左平移
个单位长度,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的
,纵坐标保持不变,得到曲线
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)已知直线的参数方程为
,(
为参数),点
为曲线
上的动点,求点
到直线
距离的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某海面上有、
、
三个小岛(面积大小忽略不计),
岛在
岛的北偏东
方向距
岛
千米处,
岛在
岛的正东方向距
岛20千米处.以
为坐标原点,
的正东方向为
轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆
经过
、
、
三点.
(1)求圆的方程;
(2)若圆区域内有未知暗礁,现有一船D在
岛的南偏西30°方向距
岛40千米处,正沿着北偏东
行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】教材曾有介绍:圆上的点
处的切线方程为
。我们将其结论推广:椭圆
上的点
处的切线方程为
,在解本题时可以直接应用。已知,直线
与椭圆
有且只有一个公共点.
(1)求的值;
(2)设为坐标原点,过椭圆
上的两点
、
分别作该椭圆的两条切线
、
,且
与
交于点
。当
变化时,求
面积的最大值;
(3)在(2)的条件下,经过点作直线
与该椭圆
交于
、
两点,在线段
上存在点
,使
成立,试问:点
是否在直线
上,请说明理由.
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