Question

11．设抛物线C：y²=2x的焦点为F，点A在C上，若|AF|=$\frac{5}{2}$，以线段AF为直径的圆经过点B（0，m），则m=1或-1．

Answer 1

分析 利用抛物线的焦点弦公式，求得A点坐标，分类，分别求得线段AF为直径的圆的圆心与直径，利用两点之间的距离公式即可求得m的值．

解答 解：抛物线C：y²=2x的焦点为F（$\frac{1}{2}$，0），设A（x，y），
由抛物线的焦点弦公式可知：|AF|=x+$\frac{p}{2}$=x+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，则x=2，
则y=±2，则A（2，2）或A（2，-2），
当A点坐标（2，2），以线段AF为直径的圆圆心M（$\frac{5}{4}$，1），半径为$\frac{5}{4}$，
经过点B（0，m），则丨BM丨=$\frac{5}{4}$，
即$\sqrt{（\frac{5}{4}-0）^{2}+（m-1）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，解得：m=1，
同理A点坐标（2，-2），以线段AF为直径的圆圆心M（$\frac{5}{4}$，-1），半径为$\frac{5}{4}$，
经过点B（0，m），则丨BM丨=$\frac{5}{4}$，
$\sqrt{（\frac{5}{4}-0）^{2}+（-1-m）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，解得：m=-1，
故m为1或-1，
故答案为：1或-1．

点评 本题考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点弦公式，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．