Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1）．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求sin²x-6cos²x的值；
（Ⅱ）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，求函数f（2x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的平行和角的三角函数的关系即可求出答案，
（Ⅱ）先求出f（x），再得到f（2x）的解析式，根据正弦函数的性质即可得到函数的单调减区间．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴-sinx=$\sqrt{3}$cosx，
∴tanx=-$\sqrt{3}$，
∴sin²x-6cos²x=$\frac{si{n}^{2}x-6co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{ta{n}^{2}x-6}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{3-6}{3+1}$=-$\frac{3}{4}$，
（Ⅱ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
∴f（2x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3}{2}$π+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（2x）的单调减区间[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和正弦函数的性质，属于中档题．