Question

13．已知函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f′（x）＞f（x）+1，则下列正确的为（　　）

• A． （f（1）+1）•e＞f（2）+1
• B． 3e＜f（2）+1
• C． 3•e≥f（1）+1
• D． 3e²与f（2）+1大小不确定

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由此可得结论．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$，∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）-1}{{e}^{x}}$＞0，
∴函数在R上单调递增，
∴g（2）＞g（1）＞g（0），
∴（f（1）+1）•e＜f（2）+1，3•e＜f（1）+1，3e²＜f（2）+1，
∴3e＜f（2）+1，
故选：B．

点评 本题考查函数单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，考查导数与函数单调性的关系，综合性较强，属于中档题．