Question

【题目】椭圆C：的离心率是，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为．

求椭圆C的方程；

过点的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定点满足题意。

【解析】

（1）利用已知条件，求解a，b，即可得到椭圆方程．

（2）当直线l斜率存在时，设直线l方程：y＝kx+1，联立直线与椭圆方程，设A，B坐标，假设存在定点Q（0，t）符合题意，利用韦达定理，把转化为kQA＝﹣kQB，求解即可．

（1）因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为，得，且离心率是，所以得，，所以椭圆C的方程为：；

当直线l斜率存在时，设直线l方程：，

由得，，

设，

假设存在定点符合题意，，，

，

上式对任意实数k恒等于零，，即，．

当直线l斜率不存在时，A，B两点分别为椭圆的上下顶点，，

显然此时，

综上，存在定点满足题意