【题目】已知A、B分别在射线CM、CN(不含端点C)上运动,∠MCN= π,在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.
(Ⅰ)若a、b、c依次成等差数列,且公差为2.求c的值;
(Ⅱ)若c= ,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)∵a、b、c成等差,且公差为2,∴a=c﹣4、b=c﹣2.
又∵ , ,
∴ ,∴ ,
恒等变形得 c2﹣9c+14=0,解得c=7,或c=2.
又∵c>4,∴c=7
(Ⅱ)在△ABC中,由正弦定理可得 ,
∴ ,AC=2sinθ, .
∴△ABC的周长f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|=
= = ,
又∵ ,∴ ,
∴当 ,即 时,f(θ)取得最大值
【解析】(Ⅰ)由题意可得 a=c﹣4、b=c﹣2.又因 , ,可得 ,恒等变形得 c2﹣9c+14=0,再结合c>4,可得c的值.(Ⅱ)在△ABC中,由正弦定理可得AC=2sinθ, .△ABC的周长f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|= .再由 ,利用正弦函数的定义域和值域,求得f(θ)取得最大值.
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【题目】已知椭圆,直线与椭圆在第一象限内的交点是,点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点,椭圆的另一个焦点是,且.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 直线过点,且与椭圆交于两点,求的内切圆面积的最大值.
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【题目】某几何体的三视图的形状、大小如图所示.
(1)求该几何体的体积;
(2)设点D、E分别在线段AC、BC上,且DE∥平面ABB1A1 , 求证:DE∥A1B1 .
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【题目】设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= (n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】在四棱锥A﹣BCDE中,底面BCDE为平行四边形,平面ABE⊥平面BCDE,AB=AE,DB=DE,∠BAE=∠BDE=90°
(1)求异面直线AB与DE所成角的大小;
(2)求二面角B﹣AE﹣C的余弦值.
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【题目】设函数的定义域为集合A,已知集合B={x|1<x<3},C={x|x≥m},全集为R.
(1)求(RA)∩B;
(2)若(A∪B)∩C≠,求实数m的取值范围.
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:),其频率分布直方图如下:
(1)估计旧养殖法的箱产量低于50的概率并估计新养殖法的箱产量的平均值;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量 | 箱产量 | 合计 | |
旧养殖法 | |||
新养殖法 | |||
合计 |
附:,其中
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
参考数据:
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