Question

3．已知A、B分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴与短轴的一个端点，E、F是椭圆左、右焦点，以E点为圆心3为半径的圆与以F点为圆心1为半径的圆的交点在椭圆C上，且|AB|=$\sqrt{7}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线ME与x轴不垂直，它与C的另一个交点为N，M′是点M关于x轴的对称点，试判断直线NM′是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义可知丨PE丨+丨PF丨=2a=4，则a=2，a²+b²=7，即可求得b²=3，即可求得椭圆方程；
（2）设直线MN的方程，代入椭圆方程，利用点斜式方程求得的NM′方程，y=0，利用韦达定理，即可求得x，则直线直线NM′是否过定点（-4，0）．

解答 解：（1）由题意可知，丨PE丨+丨PF丨=2a=1+3=4，可得a=2，
又|AB|=$\sqrt{7}$，则a²+b²=7，
解得：b²=3，
椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设MN的方程x=ty-1，（t≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），M′（-x₁，-y₁），
x₁≠x₂，y₁+y₂≠0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3t²+4）y²-6ty-9=0，
△=（-6t）²-4（-9）（3t²+4）=144t²+144＞0，
则y₁+y₂=$\frac{6t}{3+4{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，
则直线M′N的方程y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
当y=0时，则x=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$+x₂=$\frac{{y}_{1}{x}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}（t{y}_{2}-1）+{y}_{2}（t{y}_{1}-1）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{2t{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$-1=$\frac{\frac{-18t}{3{t}^{2}+4}}{\frac{6t}{3{t}^{2}+4}}$-1=-4，
则直线NM′是否过定点（-4，0）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．