Question

8．已知函数f（x）=e^ax（a≠0）．
（1）当$a=\frac{1}{2}$时，令$g（x）=\frac{f（x）}{x}$（x＞0），求函数g（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）若对于一切x∈R，f（x）-x-1≥0恒成立，求a的取值集合；
（3）求证：$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{{i{{（{\sqrt{e}}）}^i}}}}＜\frac{4}{e}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的表达式，求出函数的单调区间，通过讨论m的范围求出函数的最小值即可；
（2）设h（x）=f（x）-x-1=e^ax-x-1，求出a＞0，解根据导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到当且仅当$\frac{1}{a}-\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$-1≥0①令φ（x）=t-tlnt-1，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）由g（x）=$\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}≥\frac{e}{2}$，可得$\frac{1}{{n{{（{\sqrt{e}}）}^n}}}=\frac{n}{{{n^2}{{（{\sqrt{e}}）}^n}}}$≤$\frac{1}{n^2}•\frac{2}{e}$，根据不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，g（x）=$\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}$，则g'（x）=$\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}（{\frac{x}{2}-1}）}}{x^2}$．
当$\frac{x}{2}$-1＞0，即x＞2时，g'（x）＞0；
当$\frac{x}{2}$-1＜0且x≠0，即x＜2或0＜x＜2时，g'（x）＜0．
则g（x）的增区间为（2，+∞），减区间为（-∞，0），（0，2）．
因为m＞0，所以m+1＞1，
①当m+1≤2，即0＜m≤1时，g（x）在[m，m+1]上单调递减，
所以g（x）_min=g（m+1）=$\frac{{{e^{\frac{m+1}{2}}}}}{m+1}$
②当m＜2＜m+1，即1＜m＜2时，g（x）在[m，2]上单调递减，
在[2，m+1]上单调递增，所以g（x）_min=g（2）=$\frac{e}{2}$
③当m≥2时，g（x）在[m，m+1]上单调递增，所以g（x）_min=g（m）=$\frac{{{e^{\frac{m}{2}}}}}{m}$．
综上，g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{e}^{\frac{m+1}{2}}}{m+1}，0＜m≤1}\\{\frac{e}{2}，1＜m＜2}\\{\frac{{e}^{\frac{m}{2}}}{m}，m≥2}\end{array}\right.$；
（2）设h（x）=f（x）-x-1=e^ax-x-1
若a＜0，则对一切x＞0，h（x）＜0这与题设矛盾．
又a≠0，故a＞0．而h'（x）=ae^ax-1，令h'（x）=0，得x=$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$，
当x＜$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
故当x=$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$时，h（x）取最小值$h（{\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}}）=\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$-1．
于是对一切x∈R，h（x）≥0恒成立，当且仅当$\frac{1}{a}-\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$-1≥0①
令φ（x）=t-tlnt-1，则φ'（x）=-lnt
当0＜t＜1时，φ'（t）＞0，φ（t）单调递增；
当t＞1时，φ'（t）＜0，φ（t）单调递减，
故当t=1时，φ（t）取最大值φ（1）=0，
因此，当且仅当$\frac{1}{a}$=1，即a=1时，①式成立．
综上所述，a的取值集合为{1}．
（3）证明：由（2）可知，当x＞0时，g（x）=$\frac{{{e^{\frac{x}{2}}}}}{x}≥\frac{e}{2}$，
所以$\frac{x}{{{e^{\frac{x}{2}}}}}≤\frac{2}{e}$（x＞0），
可得$\frac{1}{{n{{（{\sqrt{e}}）}^n}}}=\frac{n}{{{n^2}{{（{\sqrt{e}}）}^n}}}$≤$\frac{1}{n^2}•\frac{2}{e}$
于是$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{{i{{（{\sqrt{e}}）}^i}}}}=\frac{1}{{\sqrt{e}}}$+$\frac{1}{{2{{（{\sqrt{e}}）}^2}}}+…+\frac{1}{{n{{（{\sqrt{e}}）}^n}}}$
≤$\frac{2}{e}（{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}$$\left.{+…+\frac{1}{n^2}}）$
＜$\frac{2}{e}[{1+（{1-\frac{1}{2}}）}$$+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+$$\left.{（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）}]$
=$\frac{2}{e}[{2-\frac{1}{n}}]$＜$\frac{4}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．