Question

13．已知数列{a_n}是首项为2的等差数列，数列{b_n}是公比为2的等比数列，且满足a₂+b₃=7，a₄+b₅=21．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项；
（2）令${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知根据等差数列及等比数列的通项公式，列方程组，即可求得求得{a_n}的公差为d，数列{b_n}的首项为b₁，即可求得数列{a_n}与{b_n}的通项；
（2）由（1）求得数列{c_n}的通项公式，利用“错位相减法”即可求得数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的首项为b₁，
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d+{b}_{1}{q}^{2}=7}\\{{a}_{1}+3d+{b}_{1}{q}^{4}=21}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{4{b}_{1}+d=5}\\{16{b}_{1}+3d=19}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=1}\\{{b}_{1}=1}\end{array}\right.$，
a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁q^n-1=2^n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n+1，{b_n}的通项公式b_n=2^n-1；
（2）由（1）可知${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，
数列{c_n}的前n项和S_n，S_n=$\frac{2}{{2}^{0}}$+$\frac{3}{{2}^{1}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，①
则$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{2}{{2}^{1}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，②
①-②整理得：$\frac{1}{2}$S_n=2+（$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
∴S_n=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$，
数列{c_n}的前n项和S_n，S_n=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查等比数列及等比数列通项公式，考查“错位相减法”求得数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．