Question

4．已知函数f（x）=x²-2ax（a＞0）．
（1）当a=2时，解关于x的不等式-3＜f（x）＜5；
（2）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使得在整个区间[0，M（a）]上，不等式|f（x）|≤5恒成立．求出M（a）的解析式；
（3）函数y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是-4，求实数a和t的值．

Answer 1

分析 （1）a=2时，把不等式-3＜f（x）＜5化为不等式组-3＜x²-4x＜5，求出解集即可；
（2）由二次函数的图象与性质，讨论a＞0时|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立时，M（a）最大，此时对应的方程f（x）=±5根的情况，从而求出M（a）的解析式；
（3）f（x）=（x-a）²-a²（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0，分类讨论，利用y=f（x）在[t，t+2]的最大值为0，最小值是-4，求实数a和t的值．

解答 解：（1）当a=2时，函数f（x）=x²-4x，
∴不等式-3＜f（x）＜5可化为-3＜x²-4x＜5，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x＜1或x＞3}\\{-1＜x＜5}\end{array}\right.$，
∴不等式的解集为（-1，1）∪（3，5）；
（2）∵a＞0时，f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，
∴当-a²＜-5，即a＞$\sqrt{5}$时，
要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=-5的较小的根，
即M（a）=a-$\sqrt{{a}^{2}-5}$；
当-a²≥-5，即0＜a≤$\sqrt{5}$时，
要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
要使得M（a）最大，M（a）只能是x²-2ax=5的较大的根，
即M（a）=a+$\sqrt{{a}^{2}+5}$；
综上，M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-\sqrt{{a}^{2}-5}，a＞\sqrt{5}}\\{a+\sqrt{{a}^{2}+5}，0＜a≤\sqrt{5}}\end{array}\right.$．
（3）f（x）=（x-a）²-a²（t≤x≤t+2），显然f（0）=f（2a）=0．
①若t=0，则a≥t+1，且f（x）_min=f（a）=-4，或f（x）_min=f（2）=-4，
当f（a）=-a²=-4时，a=±2，a=-2不合题意，舍去
当f（2）=4-4a=-4时，a=2，
②若t+2=2a，则a≤t+1，且f（x）_min=f（a）=-4，或f（x）_min=f（2a-2）=-4，
当f（a）=-a²=-4时，a=±2，若a=2，t=2，符合题意；
若a=-2，则与题设矛盾，不合题意，舍去
当f（2a-2）=-4时，a=2，t=2
综上所述，a=2，t=0和a=2，t=2符合题意．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了二次函数的图象与性质的应用问题，是较难理解的题目．