Question

6．已知不等式a+b+$\sqrt{2}$c≤|x²-1|对于满足条件a²+b²+c²=1的任意实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 由柯西不等式，我们易结合a²+b²+c²=1，得到（a+b+$\sqrt{2}$c）²≤（1+1+2）（a²+b²+c²）=4，再由条件可得|x²-1|≥2，解绝对值不等式，即可得到答案．

解答 解：∵（a+b+$\sqrt{2}$c）²≤（1+1+2）（a²+b²+c²）=4，
∴a+b+$\sqrt{2}$c≤2，
又∵a+b+$\sqrt{2}$c≤|x²-1|对于满足条件a²+b²+c²=1的任意实数a，b，c恒成立，
∴|x²-1|≥2，即为x²≥3或x²≤-1，
解得x≤-$\sqrt{3}$或x≥$\sqrt{3}$，
即有实数x的取值范围是（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，同时考查柯西不等式的运用，二次不等式的解法，属于中档题．