Question

已知函数f（x）=ln

2x

ax+b

满足f（1）=0，且对任何正数x，都有f（x）-f（

1

x

）=lnx．
（1）求实数a，b的值；
（2）若关于x的方程f（x）=ln（m+x）无实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）化简得出

2

a+b

=1，ax+bx²=ax²+bx，即a=b，求解即可得出a，b．
（2）转化为：

2x

x+1

=m+x，在x∈（0，+∞），上无解，t=x+1，t∈（1，+∞），求解y=-（t+

3

t

）+3，值域比较可得．

解答： 解：（1）∵f（1）=0，
∴

2

a+b

=1，又f（x）-f（

1

x

）=lnx．，
∴ln

2x

ax+b

-ln

2 x

a x +b

=ln

ax+bx2

ax+b

=lnx，
∴ax+bx²=ax²+bx，∴a=b，即得出a=b=1，
（2）ln

2x

ax+b

=ln（m+x），∴

2x

ax+b

=m+x，
∵

2x

x+1

＞0，∴x∈（0，+∞），
若

2x

x+1

=m+x，在x∈（0，+∞），上无解，
则m=

2x

x+1

-x=3-

2

x+1

-(x+1)，

设∵p（t）=t+

2

t

，t∈（1，+∞），
∴t+

2

t

≥2

2

，
∴-（t+

2

t

）+3∈（-∞，3-2

2

]
∴实数m的取值范围：（3-2

2

，+∞）

点评：本题考查了方程的运用，函数的值域的求解，结合不等式求解，把方程有解无解的问题与函数的值域结合起来，属于中档题．