Question

设函数f（x）=x+

4

x-1

（x＞1）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若?x∈（1，+∞），使得不等式|2a-1|+|a+1|≥f（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把函数的解析式化为f（x）=（x-1）+

1

x-1

+1，利用基本不等式求得它的最小值．
（2）由题意可得|2a-1|+|a+1|≥5，去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵x＞1，∴f(x)=x+

4

x-1

=x-1+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1=5，
当且仅当x-1=

4

x-1

，即x=3时，f（x）的最小值为5．
（2）依题意，|2a-1|+|a+1|≥f（x）_min，即|2a-1|+|a+1|≥5，
于是

a≤-1 -(2a-1)-(a+1)≥5

，或

-1＜a≤ 1 2 -(2a-1)+(a+1)≥5

，或

a＞ 1 2 2a-1+(a+1)≥5

，
解得a≤-

5

3

或a≥

5

3

．…..（10分）

点评：本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键；绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．