Question

下列命题正确的个数有（　　）
（1）命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；
（2）命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x²+x+1＞0”；
（3）经过两个不同的点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的直线都可以用方程（y-y₁）（x₂-x₁）=（x-x₁）（y₂-y₁）来表示；
（4）在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n项和，且满足S_n+1=

1

2

Sn+2，则{a_n}是等比数列；
（5）若函数f（x）=x³+ax²-bx+a²在x=1处有极值10，则a=4，b=11．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于（1），由复合命题的真值表加以判断；
对于（2），直接写出特称命题的否定加以判断；
对于（3），化直线方程的两点式为整式方程，说明命题正确；
对于（4），由数列递推式得到2a_n+1=a_n（n≥2），求出a₂后说明

a2

a1

≠2，命题错误；
对于（5），求导数，利用函数在x=1处有极值10，得到两个条件f（1）=10和f'（1）=0，然后利用方程组求解a，b．

解答： 解：（1），“p∧q为真命题”是p和q均为真命题．而“p∨q为真命题”只要p和q中至少有一个真命题即可，故命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，命题（1）错误；
（2）命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x²+x+1≥0”，命题（2）错误；
（3）经过两个不同的点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的直线都可以用方程（y-y₁）（x₂-x₁）=（x-x₁）（y₂-y₁）来表示，命题（3）正确；
（4）在数列{a_n}中，a₁=1，S_n是其前n项和，且满足S_n+1=

1

2

Sn+2，即2S_n+1=S_n+4，
取n=n-1，得2S_n=S_n-1+4（n≥2），两式作差得：2a_n+1=a_n（n≥2），
由S_n+1=

1

2

Sn+2，且a₁=1求得a2=

3

2

，则{a_n}不是等比数列，命题（3）错误；
（5）若函数f（x）=x³+ax²-bx+a²在x=1处有极值10，则a=4，b=11，正确．
由函数的导数为f'（x）=3x²+2ax-b，
∵函数f（x）=x³+ax²-bx+a²在x=1处有极值10，
∴f（1）=10且f'（1）=0．
即

3+2a-b=0 1+a-b+a2=10

，解得

a=-3 b=-3

或

a=4 b=11

．
当a=-3，b=-3时，f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
此时函数单调递增，此时函数没有极值，不满足条件．
经检验值当a=4，b=11时，满足条件，命题（5）正确．
∴正确的命题是2个．
故选：B．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了等比关系的确定，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．