Question

椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），离心率e=

6

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：y=kx-2（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M，N满足

MP

=

PN

，

AP

•

MN

=0，求k．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），离心率e=

6

3

．可得b=2，

c

a

=

6

3

，又a²=b²+c²，解得a²，即可得出椭圆的方程．
（2）如图所示，把直线方程与椭圆方程联立可得（1+3k²）x²-12kx=0．解出可得M，N的坐标．由于M，N满足

MP

=

PN

，

AP

•

MN

=0，可得点P是线段MN的中点，AP⊥MN．
利用中点坐标公式、相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），离心率e=

6

3

．
∴b=2，

c

a

=

6

3

，又a²=b²+c²，解得a²=12，c²=8．
∴椭圆的方程为：

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）如图所示，
联立

y=kx-2 x2+3y2=12

，化为（1+3k²）x²-12kx=0．
解得

x=0 y=-2

，或

x= 12k 1+3k2 y= 6k2-2 1+3k2

，
取M（0，-2），N(

12k

1+3k2

，

6k2-2

1+3k2

)．
∵M，N满足

MP

=

PN

，

AP

•

MN

=0，
∴点P是线段MN的中点，AP⊥MN．
∴P(

6k

1+3k2

，

-2

1+3k2

)，
∴k_AP=

-2-3k2

3k

．
∴

-2-3k2

3k

•k=-1，
解得k=±

3

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、相互垂直的直线与斜率之间的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．