Question

已知x＞0，y＞0，z＞0，x+2y+3z=3，那么（x+

1

4y

）²+（2y+

1

6z

）²+（3z+

1

2x

）²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：两次利用柯西不等式即可得出．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，z＞0，x+2y+3z=3，
∴（1+1+1）[（x+

1

4y

）²+（2y+

1

6z

）²+（3z+

1

2x

）²]≥[(x+

1

4y

)+(2y+

1

6z

)+(3z+

1

2x

)]2=(3+

1

2x

+

1

4y

+

1

6z

)2，
∴（x+

1

4y

）²+（2y+

1

6z

）²+（3z+

1

2x

）²≥

1

3

(3+

1

2x

+

1

4y

+

1

6z

)2．①
同理有(2x+4y+6z)(

1

2x

+

1

4y

+

1

6z

)≥（1+1+1）²，∴

1

2x

+

1

4y

+

1

6z

≥

3

2

．②
由①②可得：（x+

1

4y

）²+（2y+

1

6z

）²+（3z+

1

2x

）²≥

1

3

(3+

3

2

)2=

27

4

．当且仅当x=2y=3z=1时取等号．
∴（x+

1

4y

）²+（2y+

1

6z

）²+（3z+

1

2x

）²的最小值

27

4

．
故答案为：

27

4

．

点评：本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理能力和计算能力，正确变形利用柯西不等式是解题的关键，属于难题．