Question

（本小题满分16分）

（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程.

（2）已知椭圆,设斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为，证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上.

（3）利用（2）中所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出图中的定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

Answer 1

（1）；（2）详证见解析；（3）作图步骤见解析.

【解析】

试题分析：（1）先设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标可求得，进而得到和的关系，把点代入椭圆方程，求得，进而根据求得，椭圆的方程可得.

（2）设直线的方程为且椭圆C的交点、，直线方程和椭圆方程联立进而可得和的表达式，进而可得AB中点M的坐标从而可判定AB的中点M在过原点的直线.

（3）作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和、，并分别取、的中点、，连接直线，那么直线和的交点O即为椭圆中心.

试题解析：【解析】
（1）设椭圆的标准方程为，

∴，即椭圆的方程为.

∵点在椭圆上，∴，解得或（舍）

由此得，即椭圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为与椭圆的交点为，则联立方程：，得，

即.则，

，中点的坐标为。

的中点在过原点的直线上.

（3）作两条平行直线分别交椭圆于和，并分别取的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于和，并分别取的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心。

考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的综合问题.