Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
（1）方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式．
（2）f（x）的最小值不大于-3a，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）＜2x的解集为（-1，2）可得：-1，2为方程f（x）=2x，即ax²+（b-2）x+c=0的两个根，且a＞0；
（1）结合方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，△=0，可求出a，b，c的值，进而得到f（x）的解析式．
（2）f（x）的最小值不大于-3a，可构造关于a的不等式，解不等式可得实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
故-1，2为方程f（x）=2x，即ax²+（b-2）x+c=0的两个根，且a＞0，
则

1=- b-2 a -2= c a

，即

b=2-a c=-2a

（1）由方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，故ax²+bx+c+3a=0满足：△=0，
即b²-4a（c+3a）=0，
即3a²+4a-4=0
解得：a=

2

3

，或a=-2（舍），
故

b= 4 3 c=- 4 3

故f（x）=

2

3

x²+

4

3

x-

4

3

，
（2）由f（x）的最小值不大于-3a，
可得

4ac-b2

4a

≤-3a，
即3a²+4a-4≤0，
解得：-2≤a≤

2

3

，
∴0＜a≤

2

3

，
故实数a的取值范围为：（0，

2

3

]

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握二次不等式，二次方程，二次函数三者之间的关系是解答的关键．