Question

10．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₅=3S₃-2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）列方程组解出首项和公差，即可得出通项公式；
（2）利用裂项法求和．

解答 解：（1）设{a_n}公差为d，∵a₃=5，S₅=3S₃-2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{5{a}_{1}+10d=3（3{a}_{1}+3d）-2}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}•$$\frac{2n}{2n+1}$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，列项法数列求和，属于中档题．