Question

11．条件“|a|＜1，|b|＜1”是“|a+b|+|a-b|＜2”成立的充要条件．

Answer 1

分析 若“|a+b|+|a-b|＜2”成立，可得2＞|a+b+a-b|=2|a|，可得|a|＜1，同理|b|＜1．反之也成立，对a，b的大小分类讨论即可得出．

解答 解：若“|a+b|+|a-b|＜2”成立，则2＞|a+b+a-b|=2|a|，可得|a|＜1，同理|b|＜1．
反之也成立，当0＜a≤b＜1时，|a+b|+|a-b|=a+b+b-a=2b＜2，同理0＜b≤a＜1时也成立；
当-1＜a≤b＜0时，|a+b|+|a-b|=-（a+b）+b-a=-2a＜2，同理-1＜b≤a＜0时也成立；
当-1＜a≤0≤b＜1时，|a+b|+|a-b|=|a+b|+b-a＜{b+a，-（b+a）}_max+b-a＜2，同理-1＜a≤0≤b＜0时也成立．
∴“|a|＜1，|b|＜1”是“|a+b|+|a-b|＜2”成立的充要条件．
故答案为：充要．

点评 本题考查了不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．