Question

19．首项为正数的等差数列，前n项和为S_n，且S₃=S₈，当n=5或6时，S_n取到最大值．

Answer 1

分析 由等差数列的通项公式求出a₁=-5d，从而d＜0，由此求出S_n=-5nd+$\frac{{d}^{\;}}{2}{n}^{2}$-$\frac{n}{2}d$，由此利用配方法能求出结果．

解答 解：∵首项为正数的等差数列，前n项和为S_n，且S₃=S₈，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=8{a}_{1}+\frac{8×7}{2}d}\\{{a}_{1}＞0}\end{array}\right.$，
解得a₁=-5d，∴d＜0，
∴S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=-5nd+$\frac{{d}^{\;}}{2}{n}^{2}$-$\frac{n}{2}d$=$\frac{d}{2}（n-\frac{11}{2}）^{2}$+$\frac{121}{8}d$．
∴n=5或n=6时，S_n取到最大值．
故答案为：5或6．

点评 本题考查等差数列的前n项和取得最大值时项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．