Question

10．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量$\overrightarrow{m}$=（a，b），$\overrightarrow{n}$=（b，c），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，若2sinB+2cosB=$\sqrt{6}$，则角B=（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{7π}{12}$
• C． $\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$
• D． $\frac{π}{12}$或$\frac{7π}{12}$

Answer 1

分析 由两个向量平行的坐标表示求出a、b、c的关系，借助于余弦定理求出角B的取值范围，最后根据等式2sinB+2cosB=$\sqrt{6}$求出角B的值．

解答 解：由$\overrightarrow{m}$=（a，b），$\overrightarrow{n}$=（b，c），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，得b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，当且仅当a=c时取等号，
∵0＜B＜π，∴0＜B≤$\frac{π}{3}$．
由2sinB+2cosB=$\sqrt{6}$得：sin（B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴B+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{3}$，
∴B=$\frac{π}{12}$，
故选：A．

点评 本题考查了平面向量共线的条件，考查了转化思想，解答此题的关键是借助于余弦定理求出角B的范围，是中等难度问题．