在平面直角坐标系xOy中.以坐标原点O为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.θ∈[0.2π)．(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程,(Ⅱ)在曲线C上求一点D.使它到直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$的距离最短.并求出点D的直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}}\\{y=-3t+2}\end{array}\right.$（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．

分析（Ⅰ）先两边同乘ρ得ρ²=2ρsinθ，再利用ρ²=x²+y²，ρsinθ=y可得曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）解法一：先消去t可得直线l的普通方程，再设点D的坐标，利用切线的性质，可得与经过圆心且与已知直线垂直的直线方程，再与圆的方程联立可得x₀，进而检验可得点D的坐标．
解法二：先消去t可得直线l的普通方程，可设点D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π））．可得点D到直线l的距离为d=$2-sin（{φ+\frac{π}{3}}）$．再利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），
可得ρ²=2ρsinθ．
∵ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，
∴曲线C的普通方程为x²+y²-2y=0（或x²+（y-1）²=1）．
（Ⅱ）解法一：∵直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），
消去t得直线l的普通方程为$y=-\sqrt{3}x+5$．
∵曲线C：x²+（y-1）²=1是以G（0，1）为圆心，1为半径的圆，
设点D（x₀，y₀），且点D到直线l：$y=-\sqrt{3}x+5$的距离最短，
∴曲线C在点D处的切线与直线l：$y=-\sqrt{3}x+5$平行．
即直线GD与l的斜率的乘积等于-1，即$\frac{{{y_0}-1}}{x_0}×（{-\sqrt{3}}）=-1$．
又${x_0}^2+{（{{y_0}-1}）^2}=1$，
联立解得${x_0}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或${x_0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴点D的坐标为$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$或$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$．
由于点D到直线$y=-\sqrt{3}x+5$的距离最短，
点D的坐标为$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$．
解法二：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}t+\sqrt{3}\\ y=-3t+2\end{array}\right.$（t为参数，t∈R），
消去t得直线l的普通方程为$\sqrt{3}x+y-5=0$．
曲线Cx²+（y-1）²=1是以G（0，1）为圆心，1为半径的圆，
∵点D在曲线C上，∴可设点D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π））．
∴点D到直线l的距离为$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosφ+sinφ-4}|}}{2}$=$2-sin（{φ+\frac{π}{3}}）$．
∵φ∈[0，2π），∴当$φ=\frac{π}{6}$时，d_min=1．
此时D的坐标为$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$．

点评本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、点的直线的距离公式、直线与圆相切的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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