Question

13．已知数列{a_n}：满足：a₁=2，a_n+a_n-1=4n-2（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b₁+3b₂+7b₃…+（2ⁿ-1）b_n=a_n．求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过计算可得数列的前几项，即可得到{a_n}为以2为首项，2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式即可得到所求；
（2）考虑n=1，可得首项为2，再由n＞1，将n换为n-1，相减即可得到所求通项公式．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n-1=4n-2（n≥2），
∴a₂+a₁=6，a₃+a₂=10，a₄+a₃=14，a₅+a₄=18，a₆+a₅=22，…，
∴a₂=4，a₃=6，a₄=8，a₅=10，a₆=12，…，
∴{a_n}为以2为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2n；
（2）由b₁+3b₂+7b₃…+（2ⁿ-1）b_n=a_n，
可得n=1时，b₁=a₁=2，
当n＞1时，b₁+3b₂+7b₃…+（2^n-1-1）b_n-1=a_n-1，
两式相减可得，（2ⁿ-1）b_n=a_n-a_n-1，
由（1）可得，（2ⁿ-1）b_n=2，
即有b_n=$\frac{2}{{2}^{n}-1}$，对n=1同样成立，
则数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{2}{{2}^{n}-1}$，n∈N^*．

点评 本题考查数列的通项的求法，考查转化思想，考查学生的计算能力，属于中档题．