Question

3．已知实数x，y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}}\right.$目标函数z=2log₄y-log₂x，则z的最大值为1．

Answer 1

分析 先画出满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}}\right.$的平面区域，然后分析z=2log₄y-log₂x的几何意义，进而给出z的取值范围．

解答 解：实数x，y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}}\right.$平面区域，如下图所示：
∵目标函数z=2log₄y-log₂x=log₂$\frac{y}{x}$，其中$\frac{y}{x}$表示区域内点P与O（0，0）点连线的斜率，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得A（1，2）
又∵当点P在A时，即当x=1，y=2时，$\frac{y}{x}$取得最大值，z最大，最大值为z=1，
故答案为：1．

点评 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，是解题的关键．