Question

定义：若在上为增函数，则称为“k次比增函数”，其中. 已知其中e为自然对数的底数.

（1）若是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；

（2）当时，求函数在上的最小值；

（3）求证：.

 

Answer 1

(1) ;(2)详见解析；(3)详见解析.3.详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于是“1次比增函数”，得到在上为增函数，求导后，导数大于等于0，分离参数，转化为恒成立，求最值的问题，即可得到实数a的取值范围；

（Ⅱ）当时，得到函数,，利用导数即可得到的单调区间，分成,三种情况进行分类讨论即可函数在上单调性，进而得到其最小值；

（Ⅲ）由（Ⅱ）当时， ,即 ，则 ，即可证明：.，

试题解析：（1）由题意知上为增函数，因为在上

恒成立.又，则在上恒成立，

即在上恒成立. 而当时，，所以，

于是实数a的取值范围是. 4分

（2）当时，，则.

当，即时，；

当，即时，.

则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）. 6分

因为，所以，

①当，即时，在[]上单调递减，

所以.

②当，即时，在上单调递减，

在上单调递增，所以.

③当时，在[]上单调递增，所以.

综上，当时，；

当时，；

当时，. 9分

（3）由（2）可知，当时，，所以，

可得 11分

于是

14分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的最值.