Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=-2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数），直线l与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A，B两点．
（Ⅰ）求|AB|的长；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2

2

，

3π

4

），求点P到线段AB中点M的距离．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）把直线l的参数方程

x=-2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数）代入曲线C：（y-2）²-x²=1，可得：t²+4t-10=0，设点A，B的参数分别为t₁，t₂．利用跟与系数的关系代入|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．
（II）由点P的极坐标（2

2

，

3π

4

），可得直角坐标(2

2

cos

3π

4

，2

2

sin

3π

4

)．线段AB中点M的参数t=

t1+t2

2

，即可得出M(-3，2-

3

)．再利用两点之间的距离公式可得|PM|．

解答： 解：（I）把直线l的参数方程

x=-2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数）代入曲线C：（y-2）²-x²=1，
化为t²+4t-10=0，
设点A，B的参数分别为t₁，t₂．∴t₁+t₂=-4，t₁t₂=-10．
则|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

42+4×10

=2

14

．
（II）由点P的极坐标（2

2

，

3π

4

），可得直角坐标(2

2

cos

3π

4

，2

2

sin

3π

4

)，即（-2，2）．
线段AB中点M的参数t=

t1+t2

2

=-2，∴M(-3，2-

3

)．
∴|PM|=

(-2+3)2+(2-2+ 3 )2

=2．

点评：本题考查了直线与双曲线相交弦长问题、直线参数方程的应用、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．