Question

17．已知平面向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$=（1，2），|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{10}$，且|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{14}$|，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为（　　）

• A． -$\frac{2\sqrt{2}}{5}$
• B． -$\frac{3\sqrt{2}}{5}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{5}$

Answer 1

分析 根据题意，设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，由$\overrightarrow{a}$的坐标可得$\overrightarrow{a}$的模，又由|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{14}$，计算可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-4，由向量的数量积计算公式可得答案．

解答 解：根据题意，设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
$\overrightarrow{a}$=（1，2），则|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，
若|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{14}$，则有|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=4$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=30+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=14，
则有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-4，
又由|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{10}$，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查向量的数量积的计算，涉及向量模的坐标计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．