Question

某种报纸，进货商当天以每份进价1元从报社购进，以每份售价2元售出．若当天卖不完，剩余报纸报社以每份0.5元的价格回收．根据市场统计，得到这个季节的日销售量X（单位：份）的频率分布直方图（如图所示），将频率视为概率．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）若进货量为n（单位：份），当n≥X时，求利润Y的表达式；
（Ⅲ）若当天进货量n=400，求利润Y的分布列和数学期望E（Y）（统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由已知得100a+0.002×100+0.003×100+0.0035×100=1，由此能求出a．
（Ⅱ）由n≥X，得Y=（2-1）X-（n-X）0.5，由此能求出利润Y的表达式．
（Ⅲ）若当天进货量n=400，依题意销售量X可能值为200，300，400，对应的Y分别为：100，250，400．由此能求出利润Y的分布列和数学期望E（Y）．

解答： 解：（Ⅰ）由图可得：
100a+0.002×100+0.003×100+0.0035×100=1，
解得 a=0.0015…（2分）
（Ⅱ）∵n≥X，
∴Y=（2-1）X-（n-X）0.5
=1.5X-0.5n…（7分）
（Ⅲ）若当天进货量n=400，
依题意销售量X可能值为200，300，400，
对应的Y分别为：100，250，400．
利润Y的分布列为：

Y	100	250	400
P	0.20	0.35	0.45

所以，E（Y）=0.20×100+250×0.35+0.45×400=287.5（元）…（12分）

点评：本题考查概率分布直方图的应用，考查函数表达式的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．