Question

【题目】在四面体中，若，则当四面体的体积最大时其外接球表面积为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

设，可知当四面体的体积最大时，平面平面，计算出，求出四面体的体积，利用导数求出的最大值以及对应的的值，再利用四面体的结构得出计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出结果.

如下图，取的中点，连接、，设，

则，当四面体的体积最大时，平面平面，

四面体的体积为，.

令，得，当时，；当时，.

所以，函数在处取得极大值，亦即最大值.

此时，，，设和的外接圆半径为，由正弦定理得，.

设、的外接圆圆心分别为、，外接球的球心为点，如下图所示：

在中，，

四边形是正方形，且边长为，

所以，四面体的外接球半径，

因此，该四面体的外接球表面积为，故选：A.