Question

【题目】已知，.

（1）令，求证：有唯一的极值点；

（2）若点为函数上的任意一点，点为函数上的任意一点，求、两点之间距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，利用函数的单调性以及零点存在定理，说明函数在定义域上有唯一零点，再分析函数在该零点处函数值符号，可得证函数有唯一极值点；

（2）根据函数与关于直线，将直线平移后与分别与曲线、切于、，由此可得出的最小值.

（1）由题意知，所以，

由单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以存在唯一的，使得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

因此，函数有唯一的极值点；

（2）由于与互为反函数，两个函数图象关于直线对称，

如下图，

将直线平移使得平移后的直线与函数的图象相切，，

令，，可得点.

将直线平移使得平移后的直线与函数的图象相切，，

令，，可得点，

因此，、两点间距离的最小值为.