Question

【题目】已知椭圆的离心率，过点的直线与原点的距离为.

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，试求面积的范围.

Answer 1

【答案】(1)（2）

【解析】

（1） 根据题意，求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式，列出的等式关系，再结合离心率以及联立方程求解，即可求出椭圆方程.

（2） 设出的坐标，将直线与椭圆方程联立，得到联立方程，根据求出的范围，再利用弦长公式表达出作为三角形的底，再求出原点到直线的距离作为三角形的高，从而表达出三角形的面积关于的函数，结合的范围即可求出面积的范围.

（1）由题意可知，直线AB的方程为，即，

∵过点的直线与原点的距离为.

∴，

∴由，解得，

∴椭圆方程为：；

（2）设点，

联立方程，消去得：，

，解得

，，

，

又∵原点到直线的距离，

∵，∴，

∴S△OPQ，

∴，

∴面积的范围为.