Question

5．已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，且a₃=6，S₃=12，设${b_n}={2^{a_n}}$．
（1）求a_n；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；
（2）求出${b_n}={2^{a_n}}$=4ⁿ，运用等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设数列{a_n}是公差为d的等差数列，
$\left\{{\begin{array}{l}{{a_3}=6}\\{{S_3}=12}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+2d=6}\\{3{a_1}+3d=12}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=2}\end{array}}\right.}\right.}\right.⇒{a_n}=2n$；
（2）${b_n}={2^{a_n}}={2^{2n}}={4^n}$，
可得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=4+4²+4³+…+4ⁿ
=$\frac{{4-4×{4^n}}}{1-4}=\frac{{{4^{n+1}}-4}}{3}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．