Question

15．我们把圆心在一条直线上，且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”，在如图所示的“串圆”中，圆C₁和圆C₃的方程分别为：x²+y²=1和（x-4）²+（y-2）²=1，若直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆C₂的周长，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 5
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出直线方程，得到a、b关系式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：圆C₁和圆C₃的方程分别为：x²+y²=1和（x-4）²+（y-2）²=1，
若直线ax+2by-2=0（a，b＞0）始终平分圆C₂的周长，
说明直线经过圆C₂的圆心，圆C₃的圆心（4，2），圆C₂的圆心（2，1），
可得：a+b=1，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b）
=3+$\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$．
当且仅当b=$\sqrt{2}a$并且a+b=1时取得最小值．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．