Question

6．已知抛物线y²=4x，若过焦点F的两条直线满足l₁⊥l₂，且直线l₁与抛物线交于A、B两点，l₂与抛物线交于C、D两点，则四边形ACBD面积的最小值是32．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，利用弦长公式，表示四边形的面积，运用基本不等式求解即可．

解答 解：抛物线y²=4x，过焦点F（1，0），由题意，直线l₁、l₂的斜率都存在且不为0，
设直线l₁的方向向量为（1，k）（k＞0），则（1，k）也是直线l₂的一个法向量，
所以直线l₁的方程为y=k（x-1），…（2分）
直线l₂的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1），即x+ky-1=0． …（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0…（4分）
则x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1…（5分）．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}）^{2}-4}$=$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$．
同理可得：|CD|=4+4k²．
则四边形ACBD面积为：$\frac{1}{2}|CD||AB|$=（2+2k²）•$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$=8（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$+2）≥32．
当且仅当k=1时取等号．
故答案为：32．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．