Question

17．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2$\sqrt{3}$，∠ACB=120°，AA₁=4，则该三棱柱外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{16\sqrt{2}π}{3}$
• B． 64$\sqrt{2}$π
• C． 32π
• D． 8π

Answer 1

分析 由题意可知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC的小圆半径为1，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出球的表面积

解答 解：由题意可知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面小圆ABC的半径为r，
由正弦定理得到$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2r$，所以r=2，
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，
外接球的半径为：$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
外接球的表面积为：4π•（2$\sqrt{2}$^）2=32π；
故选C．

点评 本题考查直三棱柱的外接球的表面积的求法，解题的关键是外接球的半径，直三棱柱的底面中心的连线的中点与顶点的连线是半径，考查空间想象能力考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题