Question

8．已知数列{a_n}的前项n和为S_n，a₁=1，S_n与-3S_n+1的等差中项是$-\frac{3}{2}$．
（1）证明数列{S_n-$\frac{3}{2}$}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若对任意正整数n，不等式k≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得${S}_{n+1}=\frac{1}{3}{S}_{n}+1$，进一步得到$\frac{{S}_{n+1}-\frac{3}{2}}{{S}_{n}-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$，求出${S}_{1}-\frac{3}{2}$的值，可得数列{S_n-$\frac{3}{2}$}是以$-\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
（2）由等比数列的通项公式求得S_n，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用函数单调性求出S_n的最小值，代入k≤S_n恒成立求实数k的最大值．

解答 （1）证明：∵S_n与-3S_n+1的等差中项是$-\frac{3}{2}$，
∴S_n-3S_n+1=-3（n∈N^*），即${S}_{n+1}=\frac{1}{3}{S}_{n}+1$，
由此得${S}_{n+1}-\frac{3}{2}=（\frac{1}{3}{S}_{n}+1）-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}{S}_{n}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（{S}_{n}-\frac{3}{2}）$，
即$\frac{{S}_{n+1}-\frac{3}{2}}{{S}_{n}-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$，
又${S}_{1}-\frac{3}{2}={a}_{1}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$，
数列{S_n-$\frac{3}{2}$}是以$-\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得${S}_{n}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$，即${S}_{n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{n-1}]-[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{n-2}]$=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
又n=1时，a₁=1也适合上式，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{3}^{n-1}}$；
（3）解：要使不等式k≤S_n对任意正整数n恒成立，即k小于或等于S_n的所有值．
又∵${S}_{n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$是单调递增数列，
且当n=1时，S_n取得最小值${S}_{1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{1-1}=1$，
要使k小于或等于S_n的所有值，即k≤1，
∴实数k的最大值为1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．