Question

18．已知函数g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-x+2，x∈[a，a+1]，求g（x）的最大值h（a）．

Answer 1

分析 把二次函数配方，然后对a分类讨论，利用函数的单调性求得g（x）的最大值h（a）．

解答 解：g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-x+2=$-\frac{1}{2}（x+1）^{2}+\frac{5}{2}$，
当a≥-1时，g（x）在[a，a+1]上单调递减，g（x）_max=g（a）=$-\frac{{a}^{2}}{2}-a+2$；
当a+1≤-1，即a≤-2时，g（x）在[a，a+1]上单调递增，g（x）_max=g（a+1）=$-\frac{{a}^{2}}{2}-2a+\frac{1}{2}$；
当-2＜a＜-1时，g（x）在[a，-1]上单调递增，在[-1，a]上单调递减，$g（x）_{max}=g（-1）=\frac{5}{2}$．
∴$h（a）=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{2}-2a+\frac{1}{2}，a≤-2}\\{\frac{5}{2}，-2＜a＜-1}\\{-\frac{{a}^{2}}{2}-a+2，a≥-1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．