Question

14．设函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-2x，证明：函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 首先，求导数，然后，分为x是否为零进行讨论，同时结合范围进行判断即可．

解答 证明：因为函数的定义域为R，
而f'（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-2，
当x=0时，f'（x）=-2＜0，
当x＞0时，f'（x）=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{x}^{2}}}}$-2，
∵x²＞0，
∴1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞1，
∴f′（x）＜0，
故函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数．

点评 本题重点考查导数在判断函数单调性中的应用，属于中档题．