Question

6．已知点F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，点P（2，y₀）在抛物线C上，且|PF|=3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）若过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两个不同点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设直线l的方程为：x+my-1=0，代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0，利用韦达定理和抛物线的定义知|AB|=4（m²+1）≥4，由此能求出|AB|的最小值．

解答 解：∵点F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，P（2，y₀）是抛物线上一点，|PF|=3，
∴2+$\frac{p}{2}$=3，
解得：p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x，准线方程为x=-1；
（2）设直线l的方程为：x+my-1=0，
代入y²=4x，整理得，y²+4my-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁，y₂是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y₁+y₂=-4m
根据抛物线的定义知：|AB|=x₁+x₂+2=（1-my₁）+（1-my₂）=4（m²+1）
∴|AB|=4（m²+1）≥4，
当且仅当m=0时，|AB|有最小值4．

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，考查弦的最小值的求法．属于中档题．