Question

15．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}sin（\frac{π}{2}x）-1，x＜0\\{log_a}x（a＞0，a≠1），x＞0\end{array}\right.$的图象上关于y轴对称的点至少有5对，则实数的取值范围是（　　）

• A． .$（0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，1）$
• C． $（0，\frac{1}{3}）$
• D． $（\frac{1}{3}，1）$

Answer 1

分析 求出函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：若x＞0，则-x＜0，
∵x＜0时，f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
∴f（-x）=sin（-$\frac{π}{2}$x）-1=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，
则若f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x）-1，（x＜0）关于y轴对称，
则f（-x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1=f（x），
即y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0，
设g（x）=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0
作出函数g（x）的图象，
要使y=-sin（$\frac{π}{2}$x）-1，x＞0与f（x）=log_ax，x＞0的图象至少有5个交点，
则0＜a＜1且满足f（9）＜g（9），
即-2＜log_a9，
即log_a9＞log_aa^-2，
则9＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，
解得0＜a＜$\frac{1}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．