Question

1．我们把离心率相等的椭圆称之为“同基椭圆”，已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{m}^{2}}_{1}}+{y}^{2}=1（{m}_{1}＞1）$C₂：y²+$\frac{{x}^{2}}{{{m}^{2}}_{2}}$=1（0＜m₂＜1）为：“同基椭圆”，直线l：y=a（0＜a＜1）与曲线C₁从左至右依次交于A，D两点，与曲线C₂从左至右交于B，C两点，O为坐标原点，当a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，|AC|=$\frac{5}{4}$时，则m₁=（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 1.5
• D． 不存在

Answer 1

分析 运用离心率公式和新定义列出方程，将直线y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$分别代入C₁，C₂方程，求得A，C两点的坐标，再由两点的距离公式和|AC|的长度列出方程，解方程可得m₁的值．

解答 解：由题意得C₁，C₂的离心率相等，则$\frac{\sqrt{（{m}_{1}）^{2}-1}}{{m}_{1}}=\sqrt{1-（{m}_{2}）^{2}}$，
化简得，m₁m₂=1，①
∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{{m}^{2}}_{1}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得，${x}^{2}=\frac{（{m}_{1}）^{2}}{4}$，
由题意得A的坐标为（$-\frac{{m}_{1}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
同理可得，C的坐标为（$\frac{{m}_{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵|AC|=$\frac{5}{4}$，∴$\frac{{m}_{2}}{2}+\frac{{m}_{1}}{2}=\frac{5}{4}$，②
由①②得，m₁=2或$\frac{1}{2}$，
∵m₁＞1，∴m₁=2，
故选：B．

点评 本题考查新定义的理解和运用，椭圆的方程和离心率，以及直线与椭圆的位置关系，考查化简、变形能力，属于中档题．