Question

已知双曲线x²-

y2

3

=1，且双曲线上存在关于直线l：y=kx+4的对称的两点AB，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：假设双曲线上存在关于直线l：y=kx+4的对称的两点A，B．当k=0时，不满足条件，舍去；当k≠0时，直线AB的方程为y=-

1

k

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀）．与双曲线方程联立可化为（3k²-1）x²+2mkx-（m²k²+3k²）=0，(k2≠

1

3

)．由于△＞0，化为m²k²+3k²＞1．（*）利用根与系数的关系与中点坐标公式可得x₀，y₀，代入直线l：y=kx+4，可得m=

3k2-1

k2

，代入（*）解出即可．

解答： 解：假设双曲线上存在关于直线l：y=kx+4的对称的两点A，B．
当k=0时，不满足条件，舍去；
当k≠0时，直线AB的方程为y=-

1

k

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀）．
联立

x2- y2 3 =1 y=- 1 k x+m

，化为（3k²-1）x²+2mkx-（m²k²+3k²）=0，(k2≠

1

3

)．
△=4m²k²+4（3k²-1）（m²k²+3k²）＞0，
化为m²k²+3k²＞1．（*）
x₁+x₂=-

2mk

3k2-1

=2x₀，
∴x₀=-

mk

3k2-1

，y₀=

1

k

×

mk

3k2-1

+m=

3mk2

3k2-1

，
代入直线l：y=kx+4，可得

3mk2

3k2-1

=-

mk2

3k2-1

+4，
化为m=

3k2-1

k2

，代入（*）可得k2[(

3k2-1

k2

)2+3]＞1，
整理为12k⁴-7k²+1＞0，
解得k2＞

1

3

或k2＜

1

4

．（k≠0）．
解得k＞

3

3

，或k＜-

3

3

，或-

1

2

＜k＜

1

2

且k≠0．
综上可得：k的取值范围是k＞

3

3

，或k＜-

3

3

，或-

1

2

＜k＜

1

2

且k≠0．

点评：本题考查了双曲线上存在关于已知直线对称点的问题、直线与双曲线相交问题转化为方程联立可得△＞0及根与系数的关系、中点坐标关系、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．